Die Eulersche Zahl - Was muss ich wissen?
Um ein Verständnis für die Eulersche Zahl bzw. deren Herleitung erlangen zu können, ist gar nicht viel notwendig. Ein wenig Prozentrechnen reicht dazu aus. Wenn sich 1000 € um p\, \% vermehren, so hat man um
1000 \cdot \frac{p}{100}\, \text{€}
mehr. Ist man daran interessiert, wie viel Geld man insgesamt hat, muss noch der Ausgangsbetrag von 1000 € dazugezählt werden. Man erhält also einen Gesamtbetrag von
\underbrace{1000 \, \text{€}}_{Anfangskapital} + \underbrace{1000 \cdot \frac{p}{100}\, \text{€}}_{Vermehrung}
oder, wenn wir dies mathematisch etwas schöner schreiben wollen
1000 \, \text{€} \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) .
Eine mögliche Herleitung der Eulerschen Zahl
Man stelle sich vor auf einem Bankkonto befinden sich 1000 \, \text{€} . Dieses Guthaben wird nun angelegt. Wir wollen es zunächst für ein Jahr zu einem zugegeben etwas unrealistischen Zinsatz von p = 100 \; \% anlegen. Das Kapital K_1 nach einem Jahr Verzinsung ergibt sich dann wie folgt:
\begin{array}{ll} K_1 &= 1000 \, \text{€} \cdot \left(1+\frac{p}{100}\right) \\[0.2cm] &=1000 \, \text{€} \cdot \left(1+\frac{100}{100}\right) \\[0.2cm] &= 1000 \, \text{€} \cdot \bf 2 \end{array}
Man könnte aber auch auf die Idee kommen und das Kapital einfach zweimal innerhalb eines Jahres zum halben Zinssatz, also p = 50 \; \% , zu verzinsen. Man nennt dies dann eine unterjährige Verzinsung.
Nach dem zweimaligen Verzinsen erhält man
\begin{array}{ll} K_1 &= \underbrace{\underbrace{1000 \, \text{€} \cdot\left(1+\frac{50}{100}\right)}_{\text{einmalige Verzinsung}}\cdot\left(1+\frac{50}{100}\right)}_{\text{zweimalige Verzinsung}}\\[0.5cm] &= 1000 \, \text{€} \cdot \left(1+\frac{50}{100}\right)^2= 1000 \, \text{€} \cdot \bf 2,25 \end{array}
Spannenderweise ergibt sich bei der unterjährigen Verzinsung am Ende mehr Kapitel, da sich bei einmaliger Verzinsung das Geld verdoppelt (Faktor \bf 2 ) und bei zweimaliger Verzinsung aber um den Faktor \bf 2,25 ansteigt.
Sehen wir uns das Ganze noch für eine 12-malige Verzinsung an, der Zinssatz ist dementsprechend nur \frac{1}{12} . Es ergibt sich dadurch am Ende des Jahres nach einer 12-maligen unterjährigen Verzinsung ein Kapitel K_1 von
\begin{array}{ll} K_{1} &= 1000 \, \text{€} \cdot\left(1+\frac{\frac{p}{12}}{100}\right)^{12}\\[0.2cm] &= 1000 \, \text{€} \cdot\left(1+\frac{8,33}{100}\right)^{12} \\[0.2cm] &= 1000 \, \text{€} \cdot \bf 2,613003529. \end{array}
Es zeigt sich auch hier wieder, dass bei 12-maliger Verzinsung das Kapital am Ende des Jahres wieder größer ist als bei der zweifachen Verzinsung.
Jetzt könnte man auf die Idee kommen und die Behauptung aufstellen, dass bei immer kleineren Zeitschritten das Kapital immer großer wird. Beispielsweise könnte man das Kapital jeden Tag, jede Stunde oder sogar jede Sekunde verzinsen.
Wenn man die Anzahl der unterjährigen Verzinsungen mit n bezeichnet und für den Zinssatz p = 100\, \% verwendet, so kann man diesen Sachverhalt allgemein mit Hilfe der Gleichung
\begin{array}{ll} K_1 &= 1000 \, \text{€} \cdot \left(1+\frac{\frac{100}{n}}{100}\right)^{n} \\[0.2cm] &= 1000 \, \text{€} \cdot \bf \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \end{array}
Da das Anfangskapital stets 1000 \, \text{€} beträgt, ist für das Endkapital K_1 lediglich der Faktor \bf \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} von Bedeutung. Bei stündlicher Verzinsung (n=8760) verändert sich der Wert des Faktors zu
\left(1+\frac{1}{8760}\right)^{8760} \approx 2,718.
Diese Zahl stellt die Eulersche Zahl e mit ihren ersten drei Nachkommastellen dar. Möchte man noch mehr Nachkommastellen erhalten, so muss man für n noch größere Zahlen wählen. Man spricht dann in der Mathematik davon, dass der Grenzwert ermittelt wird, wenn n unendlich groß wird. Man schreibt hierfür
e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
Für ausgewählte Werte von n sind in der untenstehenden Tabelle Annäherungen für die Eulersche Zahl gemeinsam mit der Abweichung von exakten Wert dargestellt. Die ersten Dezimalstellen des genauen Wert der Zahl e lauten
e = 2, 7182818284 \dots .
\begin{array}{lll} \bf n & \bf \left(1+\frac{1}{n}\right)^n & \bf \text{Fehler} \\ 1 & 2 & 0,71828183 \\ 12 \; \text{(monatlich)}& 2,61303529 & 0,10524654 \\ 365 \; \text{ (täglich)} & {\bf 2,71}456748 & 0,00371435 \\ 8 760 \; \text{(stündlich)} & {\bf 2,718}12669 & 0,00015514 \\ 525 600 \; \text{(minütlich) }& {\bf 2,7182}7924 & 0,00000259 \\ 31 536 000 \; \text{(sekündlich)} & {\bf 2,718281}78 & 0,00000005 \\ \end{array}
In der Tabelle zeigt sich, dass diese Art der Berechnung nur sehr langsam zum exakten Wert führt. Die Zahl n muss also sehr groß sein, damit das Ergebnis eine ausreichende Genauigkeit erreicht. Es gibt noch andere Darstellungen, die sich aus der Bestimmungsgleichung
e = \lim_{n \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
ableiten lassen, welche auch wesentlich schneller den Grenzwert erreichen. Dazu aber im nächsten Beitrag mehr.
